ما هي الخصائص الرياضية للإنتروبيا، ولماذا هي غير سلبية؟
الإنتروبيا هو مفهوم أساسي في نظرية المعلومات ويلعب دورا هاما في مجالات مختلفة، بما في ذلك الأمن السيبراني والتشفير الكمي. في سياق الإنتروبيا الكلاسيكية، تكون الخصائص الرياضية للإنتروبيا محددة جيدًا وتوفر رؤى قيمة حول طبيعة المعلومات وعدم اليقين فيها. في هذه الإجابة، سوف نستكشف هذه الخصائص الرياضية ونشرح سبب كون الإنتروبيا غير سلبية.
أولا، دعونا نحدد الانتروبيا. في نظرية المعلومات، يقيس الإنتروبيا متوسط كمية المعلومات الموجودة في متغير عشوائي. فهو يحدد مقدار عدم اليقين المرتبط بالنتائج المحتملة للمتغير العشوائي. رياضياً، بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل X مع دالة الكتلة الاحتمالية P(X)، يتم إعطاء الإنتروبيا H(X) بواسطة:
H(X) = -∑ P(x) سجل₂ P(x)
حيث يتم جمع جميع القيم الممكنة x لـ X. وعادةً ما يتم أخذ اللوغاريتم إلى الأساس 2، مما يؤدي إلى قياس الإنتروبيا بالبتات.
الآن دعونا نفكر في الخصائص الرياضية للإنتروبيا. الخاصية الأولى هي أن الإنتروبيا تكون دائمًا غير سلبية. وهذا يعني أن إنتروبيا المتغير العشوائي أو النظام لا يمكن أن تكون سلبية. لفهم سبب كون الإنتروبيا غير سالبة، علينا أن نأخذ في الاعتبار خصائص دالة اللوغاريتم.
يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية فقط للقيم الإيجابية. في صيغة الإنتروبيا، تمثل دالة الكتلة الاحتمالية P(x) احتمال حدوث كل قيمة x. وبما أن الاحتمالات غير سلبية (أي P(x) ≥ 0)، فسيتم تحديد لوغاريتم الاحتمال غير السلبي. علاوة على ذلك، فإن لوغاريتم 1 يساوي 0. ومن ثم، فإن كل حد في مجموع صيغة الإنتروبيا سيكون غير سلبي أو يساوي الصفر. ونتيجة لذلك، فإن مجموع الحدود غير السالبة سيكون أيضًا غير سالب، مما يضمن أن الإنتروبيا غير سالبة.
لتوضيح هذه الخاصية، فكر في رمية العملة المعدنية بشكل عادل. يمثل المتغير العشوائي X نتيجة رمي العملة، حيث X = 0 للرسم و X = 1 للكتابة. يتم إعطاء دالة الكتلة الاحتمالية P(X) بواسطة P(0) = 0.5 و P(1) = 0.5. وبتعويض هذه القيم في صيغة الإنتروبيا، نحصل على:
H(X) = -(0.5 log₂ 0.5 + 0.5 log₂ 0.5) = -(-0.5 – 0.5) = 1
الإنتروبيا الخاصة بالرمية العادلة للعملة هي 1 بت، مما يشير إلى وجود بت واحد من عدم اليقين مرتبط بنتيجة رمية العملة.
بالإضافة إلى كونها غير سلبية، تمتلك الإنتروبيا أيضًا خصائص مهمة أخرى. إحدى هذه الخصائص هي أن الإنتروبيا تصل إلى الحد الأقصى عندما تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال. بمعنى آخر، إذا كانت دالة الكتلة الاحتمالية P(x) هي أن P(x) = 1/N لجميع القيم الممكنة x، حيث N هو عدد النتائج المحتملة، فسيتم تعظيم الإنتروبيا. تتوافق هذه الخاصية مع حدسنا بأن الحد الأقصى من عدم اليقين موجود عندما تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال.
علاوة على ذلك، الإنتروبيا مضافة للمتغيرات العشوائية المستقلة. إذا كان لدينا متغيرين عشوائيين مستقلين X وY، فإن الإنتروبيا الخاصة بتوزيعهما المشترك هي مجموع الإنتروبيا الفردية لكل منهما. رياضياً يمكن التعبير عن هذه الخاصية على النحو التالي:
ح(س، ص) = ح(س) + ح(ص)
هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص عند تحليل إنتروبيا الأنظمة المركبة أو عند التعامل مع مصادر متعددة للمعلومات.
إن الخصائص الرياضية للإنتروبيا في نظرية المعلومات الكلاسيكية محددة جيدًا. الإنتروبيا غير سلبية، وتعظم عندما تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال، وتكون مضافة للمتغيرات العشوائية المستقلة. توفر هذه الخصائص أساسًا متينًا لفهم طبيعة المعلومات وعدم اليقين فيها.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص الانتروبيا الكلاسيكية:
- كيف يساهم فهم الإنتروبيا في تصميم وتقييم خوارزميات التشفير القوية في مجال الأمن السيبراني؟
- ما هي القيمة القصوى للإنتروبيا ومتى يتم تحقيقها؟
- تحت أي ظروف تختفي إنتروبيا المتغير العشوائي، وماذا يعني ذلك بالنسبة للمتغير؟
- كيف تتغير إنتروبيا المتغير العشوائي عندما يتم توزيع الاحتمال بالتساوي بين النتائج مقارنة عندما يكون متحيزًا نحو نتيجة واحدة؟
- كيف تختلف الإنتروبيا الثنائية عن الإنتروبيا الكلاسيكية، وكيف يتم حسابها لمتغير عشوائي ثنائي ذو نتيجتين؟
- ما هي العلاقة بين الطول المتوقع للكلمات البرمجية وانتروبيا المتغير العشوائي في التشفير المتغير الطول؟
- اشرح كيفية استخدام مفهوم الإنتروبيا الكلاسيكية في أنظمة الترميز ذات الطول المتغير لترميز المعلومات بكفاءة.
- ما هي خصائص الإنتروبيا الكلاسيكية وكيف ترتبط باحتمالية النتائج؟
- كيف يمكن للإنتروبيا الكلاسيكية قياس عدم اليقين أو العشوائية في نظام معين؟