هل يمكن للغة يمكن التعرف عليها أن تشكل مجموعة فرعية من اللغة القابلة للتقرير؟

/ / نشرت في الأمن السيبراني, أساسيات نظرية التعقيد الحسابي EITC/IS/CCTF, قابلية الفصل, اللغات التي لا يمكن التعرف عليها في لغة تورينج

لمعالجة مسألة ما إذا كانت لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها يمكن أن تشكل مجموعة فرعية من لغة يمكن تحديدها، فمن الضروري النظر في المفاهيم الأساسية لنظرية التعقيد الحسابي، وخاصة التركيز على تصنيفات اللغات بناءً على قابليتها للتقرير وإمكانية التعرف عليها.

في نظرية التعقيد الحسابي، اللغات عبارة عن مجموعات من السلاسل فوق بعض الحروف الأبجدية، ويمكن تصنيفها بناءً على نوع العمليات الحسابية التي يمكنها التعرف عليها أو تحديدها. لغة تسمى تورينج يمكن التعرف عليه (أو قابلة للتعداد بشكل متكرر) في حالة وجود آلة تورينج التي ستتوقف وتقبل أي سلسلة تنتمي إلى اللغة. ومع ذلك، إذا كانت السلسلة لا تنتمي إلى اللغة، فقد ترفضها آلة تورينج أو تعمل إلى أجل غير مسمى دون توقف. ومن ناحية أخرى، هناك لغة قابل للحسم (أو العودية) في حالة وجود آلة تورينج التي ستتوقف دائمًا وتقرر بشكل صحيح ما إذا كانت أي سلسلة معينة تنتمي إلى اللغة أم لا.

التعاريف والخصائص

1. تورينج اللغات المعروفة:
- يمكن التعرف على اللغة ( L ) في حالة وجود آلة تورينج ( M ) مثل أي سلسلة ( w ):
– إذا (w في L) فإن (M) يتوقف في النهاية ويقبل (w).
– إذا كانت ( w ليس في L ) فإن ( M ) إما أن ترفض ( w ) أو تجري إلى الأبد دون توقف.

2. اللغات التي يمكن تحديدها:
- اللغة ( L ) قابلة للتقرير في حالة وجود آلة تورينج ( M ) مثل أي سلسلة ( w ):
– إذا (w في L) فإن (M) يتوقف في النهاية ويقبل (w).
– إذا (w notin L) فإن (M) تتوقف في النهاية وترفض (w).

من هذه التعريفات، من الواضح أن كل لغة قابلة للتقرير هي أيضًا لغة تورينج يمكن التعرف عليها لأن آلة تورينج التي تقرر اللغة ستتوقف دائمًا وتقدم إجابة، وبالتالي تتعرف على اللغة أيضًا. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة لأن لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها لا تضمن توقف آلة تورينج عن السلاسل غير الموجودة في اللغة.

علاقة المجموعة الفرعية

لتحديد ما إذا كانت لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها يمكن أن تشكل مجموعة فرعية من لغة يمكن تحديدها، ضع في اعتبارك ما يلي:

- تعريف المجموعة الفرعية: اللغة (A) هي مجموعة فرعية من اللغة (B)، ويشار إليها بـ (A subseteq B)، إذا كانت كل سلسلة في (A) موجودة أيضًا في (B). رسميًا (لكل ث في أ، ث في ب).

بالنظر إلى أن كل لغة قابلة للتحديد هي أيضًا لغة تورينج يمكن التعرف عليها، فمن الممكن أن تكون لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها مجموعة فرعية من لغة قابلة للتحديد. وذلك لأن اللغة القابلة للتقرير (B) يمكن اعتبارها لغة تورينج يمكن التعرف عليها مع خاصية إضافية تتمثل في توقفها عند جميع المدخلات. لذلك، إذا كانت ( A ) يمكن التعرف عليها من خلال تورينج و ( B ) يمكن تحديدها، وإذا كانت كل سلسلة في ( A ) موجودة أيضًا في ( B ) ، فيمكن أن تكون ( A ) بالفعل مجموعة فرعية من ( B ).

الأمثلة والرسوم التوضيحية

ولتوضيح هذا المفهوم خذ الأمثلة التالية:

1. مثال 1:
- اجعل (L_1) هي لغة جميع السلاسل التي تشفر برامج C الصالحة التي تتوقف عند عدم إدخالها. ومن المعروف أن هذه اللغة قابلة للتقرير لأننا نستطيع بناء آلة تورينج التي تحاكي كل برنامج لغة سي وتحدد ما إذا كان سيتوقف أم لا.
- لتكن (L_2) لغة جميع السلاسل النصية التي تشفر برامج C الصالحة. هذه اللغة هي لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها لأنه يمكننا بناء آلة تورينج التي تتحقق مما إذا كانت السلسلة هي برنامج C صالح.
-من الواضح أن (L_2 subseteq L_1) لأن كل برنامج C صالح (سواء توقف أم لا) هو سلسلة صالحة في لغة إيقاف برامج C.

2. مثال 2:
– لتكن (L_3) هي اللغة التي تتكون من جميع السلاسل الموجودة فوق الحروف الأبجدية ({0, 1}) والتي تمثل أرقامًا ثنائية قابلة للقسمة على 3. هذه اللغة قابلة للتقرير حيث يمكننا إنشاء آلة تورينج التي تقوم بإجراء القسمة والتحقق من الباقي من الصفر.
– لتكن (L_4) هي اللغة المكونة من جميع السلاسل الثنائية التي تمثل الأعداد الأولية. هذه اللغة هي لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها لأنه يمكننا بناء آلة تورينج التي تتحقق من البدائية عن طريق اختبار قابلية القسمة.
– في هذه الحالة، (L_4) ليست مجموعة فرعية من (L_3)، ولكن إذا اعتبرنا لغة (L_5) من السلاسل الثنائية التي تمثل أرقامًا قابلة للقسمة على 6 (وهي قابلة للقسمة على 3 وزوجية)، فإن (L_5 subseteq L_3) ).

التفاعل بين القدرة على اتخاذ القرار وإمكانية التعرف

يكشف التفاعل بين اللغات القابلة للتحديد واللغات التي يمكن التعرف عليها بواسطة تورينج عن عدة جوانب مهمة:

- خصائص الإغلاق: اللغات القابلة للتقرير مغلقة تحت الاتحاد والتقاطع والتكامل. هذا يعني أنه إذا كانت ( L_1 ) و ( L_2 ) قابلة للتقرير، فكذلك ( L_1 cup L_2 ) و ( L_1 cap L_2 ) و ( overline{L_1} ) (مكمل ( L_1 )).
- تورينج اللغات المعروفة: هذه مغلقة تحت الاتحاد والتقاطع ولكن ليس بالضرورة تحت التكامل. وذلك لأن تكملة لغة تورينج التي يمكن التعرف عليها قد لا تكون لغة تورينج يمكن التعرف عليها.

الآثار العملية في الأمن السيبراني

إن فهم العلاقات بين لغات تورينج التي يمكن التعرف عليها واللغات التي يمكن تحديدها له آثار عملية في مجال الأمن السيبراني، لا سيما في سياق التحقق من البرامج واكتشاف البرامج الضارة:

- التحقق من البرنامج: يعد التأكد من أن البرنامج يعمل بشكل صحيح لجميع المدخلات مشكلة قابلة للحسم بالنسبة لفئات معينة من البرامج. على سبيل المثال، التحقق من أن خوارزمية الفرز تقوم بفرز أي قائمة إدخال بشكل صحيح يمكن تأطيرها كمشكلة قابلة للحسم.
- كشف البرامج الضارة: اكتشاف ما إذا كان برنامج معين ضارًا يمكن تأطيره كمشكلة تورينج يمكن التعرف عليها. على سبيل المثال، يمكن استخدام أساليب أو أنماط معينة للتعرف على البرامج الضارة المعروفة، ولكن تحديد ما إذا كان أي برنامج عشوائي ضارًا (مشكلة اكتشاف البرامج الضارة) لا يمكن تحديده في الحالة العامة.

وفي الختام

في جوهرها، يمكن للغة تورينج التي يمكن التعرف عليها أن تشكل بالفعل مجموعة فرعية من لغة يمكن تحديدها. تؤكد هذه العلاقة على البنية الهرمية لفئات اللغة في نظرية التعقيد الحسابي، حيث تمثل اللغات القابلة للتقرير مجموعة فرعية أكثر تقييدًا من لغات تورينج التي يمكن التعرف عليها. يعد هذا الفهم مهمًا لمختلف التطبيقات في علوم الكمبيوتر والأمن السيبراني، حيث تلعب القدرة على التعرف على اللغات واختيارها دورًا محوريًا في ضمان صحة وأمن الأنظمة الحسابية.

أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص قابلية الفصل:

عرض المزيد من الأسئلة والأجوبة في Decidability

المزيد من الأسئلة والأجوبة:

الكلمات المفتاحية هذه: , , , , ,