تشير الدالة القابلة للحساب، في سياق نظرية التعقيد الحسابي، إلى دالة يمكن حسابها بفعالية بواسطة خوارزمية. وهي مفهوم أساسي في مجال علوم الكمبيوتر وتلعب دورًا مهمًا في فهم حدود الحوسبة.
لتحديد وظيفة قابلة للحساب ، نحتاج إلى إنشاء إطار عمل رسمي يسمح لنا بالتفكير في إمكانيات وقيود النماذج الحسابية. أحد هذه الأطر هو آلة تورينج ، التي قدمها آلان تورينج في عام 1936. آلة تورينج هي نموذج رياضي مجرد يتكون من شريط مقسم إلى خلايا ، ورأس للقراءة والكتابة ، ومجموعة من الحالات. يعمل الجهاز من خلال قراءة الرمز الموجود على الخلية الحالية ، والانتقال إلى حالة جديدة بناءً على الحالة الحالية والرمز ، وتعديل الرمز الموجود على الخلية الحالية. يمكنه أيضًا تحريك رأس القراءة والكتابة بمقدار خلية واحدة إلى اليسار أو اليمين.
في سياق آلات تورينج ، تُعرَّف الوظيفة القابلة للحساب على أنها وظيفة توجد لها آلة تورنج التي ، في ضوء أي إدخال ، تتوقف وتنتج المخرجات الصحيحة لهذا الإدخال. بمعنى آخر ، تكون الوظيفة قابلة للحساب إذا كانت هناك خوارزمية يمكنها حساب قيمتها لأي إدخال معين. يرتبط هذا المفهوم ارتباطًا وثيقًا بمفهوم القابلية للتقرير ، والذي يشير إلى القدرة على تحديد ما إذا كان مُدخل معين يلبي خاصية معينة.
يمكن إضفاء المزيد من الصفة الرسمية على مفهوم الوظائف الحسابية باستخدام مفهوم تعقيد الوقت. يقيس تعقيد الوقت مقدار الوقت الذي تتطلبه الخوارزمية لحل مشكلة كدالة لحجم المدخلات. يقال أن الوظيفة قابلة للحساب في وقت كثير الحدود إذا كانت هناك آلة تورينج يمكنها حساب الوظيفة في عدد من الخطوات متعددة الحدود في حجم الإدخال. تعتبر وظائف متعددة الحدود القابلة للحساب فعالة ، حيث ينمو وقت تشغيلها في معظم الحدود مع حجم الإدخال.
لتوضيح مفهوم الدوال القابلة للحساب ، دعنا نفكر في الوظيفة التي تحدد ما إذا كان الرقم المعطى أوليًا أم لا. تأخذ هذه الدالة مُدخلًا n وتُعيد صوابًا إذا كان n عددًا أوليًا وخطأ في الحالات الأخرى. وظيفة اختبار البدائية قابلة للحساب ، حيث توجد خوارزمية ، مثل Sieve of Eratosthenes ، يمكنها تحديد البدائية لأي رقم معين.
في المقابل ، ضع في اعتبارك الوظيفة التي تحدد ما إذا كان برنامج معين يتوقف عند إدخال معين. هذه الوظيفة ، المعروفة باسم مشكلة التوقف ، غير قابلة للحساب. تم إثبات ذلك من قبل آلان تورينج في عام 1936 ، باستخدام تقنية تُعرف بالقطرية. أظهر دليل تورينج أنه لا يمكن أن تكون هناك خوارزمية يمكنها أن تقرر ، لأي برنامج ومدخل معين ، ما إذا كان البرنامج سيتوقف أو يعمل إلى الأبد.
تشير الوظيفة القابلة للحساب في سياق نظرية التعقيد الحسابي إلى وظيفة يمكن حسابها بفعالية بواسطة خوارزمية. إنه مفهوم أساسي في علوم الكمبيوتر ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم القدرة على اتخاذ القرار. تم إضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الوظائف الحسابية باستخدام آلات تورينج وتعقيد الوقت. في حين أن العديد من الوظائف قابلة للحساب ، إلا أن هناك أيضًا وظائف ، مثل مشكلة التوقف ، والتي لا يمكن حسابها.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص وظائف قابلة للحساب:
- ماذا يعني أن تكون الإصدارات المختلفة من آلات تورينج متكافئة في القدرة الحاسوبية؟
- اشرح العلاقة بين وظيفة قابلة للحساب ووجود آلة تورينج يمكنها حسابها.
- ما أهمية توقف آلة تورينج دائمًا عند حساب وظيفة حسابية؟
- هل يمكن تعديل آلة تورينج لقبول وظيفة دائمًا؟ اشرح لماذا ولماذا لا.
- كيف تحسب آلة تورينج دالة وما هو دور شرائط الإدخال والإخراج؟