هل هناك مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة؟
في مجال نظرية التعقيد الحسابي، خاصة عند دراسة فئات التعقيد الفضائي، فإن العلاقة بين PSPACE وNP ذات أهمية كبيرة. لمعالجة السؤال مباشرة: نعم، هناك مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة. هذا التأكيد متجذر في التعريفات والعلاقات بين فئات التعقيد هذه.
PSPACE هي فئة من مسائل القرار التي يمكن حلها بواسطة آلة تورينج باستخدام مقدار متعدد الحدود من الفضاء. بمعنى آخر، تكون هناك مشكلة في PSPACE إذا كانت هناك خوارزمية يمكنها حلها باستخدام مقدار من الذاكرة متعدد الحدود في حجم الإدخال. تشمل هذه الفئة مجموعة واسعة من المسائل، بعضها معقد جدًا ويتضمن عمليات حسابية معقدة.
NP، من ناحية أخرى، هي فئة من مشاكل القرار التي يمكن التحقق من الحل المقترح لها في زمن متعدد الحدود بواسطة آلة تورينج الحتمية. هذا يعني أنه إذا قدم لك شخص ما حلاً مرشحًا لمشكلة في NP، فيمكنك التحقق من صحة هذا الحل بسرعة، وتحديدًا في وقت كثير الحدود بالنسبة لحجم الإدخال.
العلاقة بين هاتين الفئتين هي أن NP هي مجموعة فرعية من PSPACE. وذلك لأن أي مشكلة يمكن التحقق منها في زمن متعدد الحدود يمكن حلها أيضًا في فضاء متعدد الحدود. لفهم السبب، ضع في اعتبارك أن أداة التحقق من الزمن متعدد الحدود يمكنها فقط قراءة عدد متعدد الحدود من البتات المدخلة والحل المقترح. لذلك، يمكن محاكاتها بواسطة آلة فضاء متعددة الحدود والتي تتتبع المواضع التي قرأتها والعمليات التي قامت بها.
ومع ذلك، لا يُعرف أن العكس صحيح؛ أي أنه من غير المعروف ما إذا كانت PSPACE هي مجموعة فرعية من NP. في الواقع، من المعتقد على نطاق واسع أن PSPACE يحتوي على مشاكل غير موجودة في NP، على الرغم من أن هذا لم يتم إثباته رسميًا. يعتمد هذا الاعتقاد على وجود مشاكل في PSPACE يبدو أنها تتطلب أكثر من زمن متعدد الحدود لحلها، على الرغم من أنه يمكن حلها باستخدام فضاء متعدد الحدود.
أحد الأمثلة الأساسية لمشكلة في PSPACE غير معروفة في NP هي مشكلة الصيغة المنطقية الكمية (QBF). QBF هو تعميم لمشكلة الإشباع المنطقي (SAT)، وهي NP كاملة. بينما يسأل اختبار SAT عما إذا كان هناك تخصيص لقيم الحقيقة للمتغيرات التي تجعل الصيغة المنطقية المعطاة صحيحة، يتضمن QBF محددات كمية متداخلة على المتغيرات، مثل "بالنسبة لجميع x، يوجد أي مما يجعل الصيغة صحيحة." إن وجود هذه المحددات الكمية يجعل QBF أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ. QBF مكتملة لـ PSPACE، مما يعني أنها صعبة مثل أي مشكلة في PSPACE. إذا كانت هناك خوارزمية NP لـ QBF، فهذا يعني أن NP يساوي PSPACE، وهي نتيجة ستكون رائدة وتعتبر غير محتملة على نطاق واسع.
مثال توضيحي آخر هو مشكلة تحديد الفائز في الألعاب المعممة، مثل الإصدارات المعممة من لعبة الشطرنج أو لعبة Go، التي يتم لعبها على لوحة N x N. تتضمن هذه المسائل عددًا هائلاً من الحركات والتكوينات، ولكن يمكن تحديدها باستخدام الفضاء متعدد الحدود من خلال استكشاف جميع حالات اللعبة الممكنة بشكل منهجي. هذه المشاكل أيضًا مكتملة لـ PSPACE، مما يشير أيضًا إلى وجود مشاكل في PSPACE غير موجودة في NP.
للتعمق أكثر في سبب الاعتقاد بأن بعض المشكلات في PSPACE تقع خارج NP، فكر في طبيعة الحسابات المحددة بالمكان مقابل الحسابات المحددة بالزمن. يسمح الفضاء متعدد الحدود بعدد هائل من الخطوات الحسابية، طالما أن المساحة المستخدمة تظل محدودة متعدد الحدود. وهذا يتناقض بشكل صارخ مع NP، حيث يكون الوقت محدودًا متعدد الحدود. يمكن استخدام الوقت الأسي الذي يسمح به الفضاء متعدد الحدود لحل المشكلات التي تتضمن عمليات بحث شاملة على مساحات كبيرة بشكل كبير، مثل تلك التي تمت مواجهتها في QBF والألعاب المعممة.
علاوة على ذلك، هناك بنيات نظرية معقدة تدعم التمييز بين PSPACE وNP. على سبيل المثال، فإن مفهوم التناوب، الذي قدمه شاندرا، وكوزين، وستوكماير، يعمم اللاحتمية ويؤدي إلى فئة AP (زمن متعدد الحدود بالتناوب). لقد ثبت أن AP يساوي PSPACE، وبالتالي يوفر منظورًا مختلفًا لقوة حسابات الفضاء متعدد الحدود. يتضمن التناوب سلسلة من محددات الكمية الوجودية والعالمية، مما يعكس هيكل QBF، ويعرض التعقيد الكامن في مشاكل PSPACE.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الفصل بين فئات التعقيد هو سؤال أساسي مفتوح في علوم الكمبيوتر النظرية. تعتبر مشكلة P vs NP الشهيرة حالة خاصة من هذا البحث الأوسع. وبالمثل، تظل مسألة ما إذا كانت NP تساوي PSPACE دون حل. ومع ذلك، فإن الإجماع في هذا المجال، بناءً على دراسة مستفيضة وطبيعة المشاكل المعروفة، هو أن PSPACE من المحتمل أن يحتوي على مشاكل غير موجودة في NP.
إن وجود مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة مدعوم بالتعريفات والعلاقات بين فئات التعقيد هذه، بالإضافة إلى أمثلة ملموسة مثل QBF ومشاكل اللعبة المعممة. تسلط هذه الأمثلة الضوء على العمليات الحسابية المعقدة والمحتملة الأسية التي يمكن إدارتها داخل الفضاء متعدد الحدود ولكن من غير المرجح أن تقتصر على وقت متعدد الحدود، مما يضعها خارج عالم NP.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص تعقيد:
- هل فئة PSPACE لا تساوي فئة EXPSPACE؟
- هل فئة التعقيد P هي مجموعة فرعية من فئة PSPACE؟
- هل يمكننا إثبات أن فئة Np وP متماثلتان من خلال إيجاد حل متعدد الحدود فعال لأي مشكلة كاملة NP على TM حتمية؟
- هل يمكن أن تكون فئة NP مساوية لفئة EXPTIME؟
- هل يمكن أن تكون مشكلة SAT مشكلة NP كاملة؟
- هل يمكن أن تكون المشكلة في فئة التعقيد NP إذا كانت هناك آلة تورينج غير حتمية يمكنها حلها في زمن متعدد الحدود
- NP هي فئة اللغات التي تحتوي على أدوات التحقق من الوقت متعددة الحدود
- هل P و NP في الواقع نفس فئة التعقيد؟
- هل كل لغة خالية من السياق في فئة التعقيد P؟
- هل هناك تناقض بين تعريف NP كفئة من مشاكل القرار مع أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود وحقيقة أن المشاكل في الفئة P لها أيضًا أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود؟
عرض المزيد من الأسئلة والأجوبة في التعقيد