تعد مسألة ما إذا كانت P تساوي NP واحدة من أكثر المشكلات عمقًا والتي لم يتم حلها في علوم الكمبيوتر والرياضيات. تكمن هذه المشكلة في قلب نظرية التعقيد الحسابي، وهو مجال يدرس الصعوبة الكامنة في المشكلات الحسابية ويصنفها وفقًا للموارد اللازمة لحلها.
لفهم السؤال، من الضروري فهم تعريفات الفئتين P وNP. تتكون الفئة P من مسائل القرار (مشاكل ذات إجابة بنعم/لا) التي يمكن حلها بواسطة آلة تورينج الحتمية في زمن متعدد الحدود. يشير وقت متعدد الحدود إلى أنه يمكن التعبير عن الوقت اللازم لحل المشكلة كدالة متعددة الحدود لحجم الإدخال. تتضمن أمثلة المشكلات في P فرز قائمة من الأرقام (والتي يمكن إجراؤها في زمن O(n log n) باستخدام خوارزميات فعالة مثل mergesort) وإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين باستخدام الخوارزمية الإقليدية (التي تعمل في O(log (دقيقة (أ، ب))) الوقت).
من ناحية أخرى، تتكون الفئة NP من مشاكل القرار التي يمكن التحقق من حل معين لها في زمن متعدد الحدود بواسطة آلة تورينج الحتمية. وهذا يعني أنه إذا قدم شخص ما حلاً مرشحًا للمشكلة، فيمكن التحقق من صحته بكفاءة. الأهم من ذلك، أن NP لا يعني بالضرورة أن المشكلة نفسها يمكن حلها في زمن متعدد الحدود، بل يعني فقط أن الحل المقترح يمكن التحقق منه بسرعة. تتضمن أمثلة المشكلات في NP مشكلة الإرضاء المنطقي (SAT)، حيث يسعى المرء إلى تحديد ما إذا كان هناك تعيين لقيم الحقيقة للمتغيرات التي تجعل صيغة منطقية معينة صحيحة، ومشكلة دورة هاميلتون، التي تسأل عما إذا كانت هناك دورة الذي يزور كل قمة من الرسم البياني مرة واحدة بالضبط.
يسأل سؤال P vs NP عما إذا كانت كل مشكلة يمكن التحقق من حلها في زمن متعدد الحدود (أي كل مشكلة في NP) يمكن حلها أيضًا في زمن متعدد الحدود (أي في P). رسميا، السؤال هو ما إذا كان P = NP. إذا كانت P تساوي NP، فهذا يعني أن كل مشكلة يمكن التحقق من حلها بسرعة يمكن أيضًا حلها بسرعة. وهذا من شأنه أن يكون له آثار عميقة على مجالات مثل التشفير، والتحسين، والذكاء الاصطناعي، حيث أن العديد من المشاكل المستعصية حاليًا يمكن أن تصبح قابلة للحل بكفاءة.
على الرغم من عقود من البحث، يظل سؤال P vs NP مفتوحًا. لم يتمكن أحد حتى الآن من إثبات P = NP أو P ≠ NP. وتتجلى صعوبة هذه المشكلة في إدراجها كواحدة من "مسائل جائزة الألفية" السبعة التي وضعها معهد كلاي للرياضيات، مع جائزة قدرها مليون دولار للحل الصحيح. وقد أدى عدم وجود حل إلى تطورات كبيرة في كل من علوم الكمبيوتر النظرية والتطبيقية.
أحد المفاهيم الأساسية المتعلقة بسؤال P vs NP هو اكتمال NP. تكون المشكلة NP-كاملة إذا كانت في NP وتكون صعبة مثل أي مشكلة في NP، بمعنى أن أي مشكلة NP يمكن اختزالها إليها باستخدام اختزال كثير الحدود للزمن. تم تقديم مفهوم اكتمال NP بواسطة ستيفن كوك في ورقته البحثية عام 1971، حيث أثبت أن مسألة SAT هي NP-كاملة. كانت هذه النتيجة، المعروفة باسم نظرية كوك، رائدة لأنها قدمت مثالًا ملموسًا لمسألة NP الكاملة وأنشأت إطارًا لتحديد مشاكل NP الكاملة الأخرى.
منذ ذلك الحين، تبين أن العديد من المشكلات الأخرى هي NP كاملة، مثل مشكلة البائع المتجول، ومشكلة الزمرة، ومشكلة الحقيبة. تكمن أهمية اكتمال NP في أنه إذا كان من الممكن حل أي مشكلة NP-كاملة في زمن متعدد الحدود، فيمكن حل كل مشكلة في NP في زمن متعدد الحدود، مما يعني ضمنيًا P = NP. على العكس من ذلك، إذا لم يكن من الممكن حل أي مشكلة NP-Complete في زمن كثير الحدود، فعندئذٍ P ≠ NP.
لتوضيح مفهوم اكتمال NP، فكر في مشكلة البائع المتجول (TSP). في هذه المشكلة، يجب على البائع زيارة مجموعة من المدن، كل منها مرة واحدة بالضبط، والعودة إلى مدينة البداية، وذلك بهدف تقليل إجمالي مسافة السفر. تسأل نسخة القرار من TSP عما إذا كانت هناك جولة في المدن بمسافة إجمالية أقل من أو تساوي قيمة معينة. هذه المشكلة موجودة في NP لأنه، في ضوء الجولة المقترحة، يمكن للمرء بسهولة التحقق في وقت متعدد الحدود مما إذا كانت الجولة تلبي قيود المسافة. علاوة على ذلك، TSP هو NP-كامل لأن أي مشكلة في NP يمكن تحويلها إلى مثيل TSP في زمن متعدد الحدود.
مثال آخر هو مشكلة الزمرة، التي تسأل عما إذا كان رسم بياني معين يحتوي على رسم بياني فرعي كامل (زمرة) بحجم محدد. هذه المشكلة موجودة في NP لأنه، في حالة وجود زمرة مرشحة، يمكن للمرء التحقق في وقت متعدد الحدود مما إذا كانت بالفعل زمرة بالحجم المطلوب. تعتبر مشكلة الزمرة أيضًا NP-كاملة، مما يعني أن حلها بكفاءة يعني أنه يمكن حل جميع مشكلات NP بكفاءة.
أدت دراسة P vs NP واكتمال NP إلى تطوير تقنيات وأدوات مختلفة في علوم الكمبيوتر النظرية. إحدى هذه التقنيات هي مفهوم تخفيضات الوقت متعدد الحدود، والتي تستخدم لإظهار أن مشكلة واحدة على الأقل بنفس صعوبة مشكلة أخرى. إن تقليل زمن متعدد الحدود من المشكلة A إلى المشكلة B هو تحويل يحول مثيلات A إلى مثيلات B في زمن متعدد الحدود، بحيث يمكن استخدام حل المثيل B المحول لحل المثيل الأصلي لـ A. إذا كانت المشكلة يمكن اختزال A إلى المشكلة B في زمن كثير الحدود، ويمكن حل B في زمن كثير الحدود، ثم يمكن أيضًا حل A في زمن كثير الحدود.
هناك مفهوم مهم آخر وهو مفهوم خوارزميات التقريب، التي توفر حلولًا شبه مثالية لمشاكل NP-hard (المسائل التي تكون على الأقل بنفس صعوبة مشاكل NP-Complete) في زمن متعدد الحدود. وفي حين أن هذه الخوارزميات لا تجد بالضرورة الحل الأمثل الدقيق، إلا أنها تقدم نهجًا عمليًا للتعامل مع المشكلات المستعصية من خلال تقديم حلول قريبة من أفضل ما يمكن. على سبيل المثال، تحتوي مسألة البائع المتجول على خوارزمية تقريبية معروفة تضمن القيام بجولة ضمن عامل 1.5 من الجولة المثالية لـ TSP المتري (حيث تلبي المسافات متباينة المثلث).
تمتد الآثار المترتبة على حل مسألة P vs NP إلى ما هو أبعد من علوم الكمبيوتر النظرية. في التشفير، تعتمد العديد من أنظمة التشفير على صلابة بعض المشكلات، مثل تحليل الأعداد الصحيحة واللوغاريتمات المنفصلة، والتي يُعتقد أنها موجودة في NP ولكن ليس في P. إذا كانت P تساوي NP، فمن المحتمل أن يتم حل هذه المشكلات بكفاءة، مما يعرض للخطر أمن أنظمة التشفير. وعلى العكس من ذلك، فإن إثبات P ≠ NP من شأنه أن يوفر أساسًا أقوى لأمن مثل هذه الأنظمة.
في عملية التحسين، يتم تصميم العديد من مشكلات العالم الحقيقي، مثل الجدولة والتوجيه وتخصيص الموارد، على أنها مشكلات NP-hard. إذا كانت P مساوية لـ NP، فهذا يعني أنه يمكن تطوير خوارزميات فعالة لحل هذه المشكلات على النحو الأمثل، مما يؤدي إلى تقدم كبير في مختلف الصناعات. ومع ذلك، فإن الافتراض الحالي بأن P ≠ NP أدى إلى تطوير خوارزميات إرشادية وتقريبية توفر حلولاً عملية لهذه المشاكل.
إن لسؤال P vs NP أيضًا آثار فلسفية، لأنه يمس طبيعة الحقيقة الرياضية وحدود المعرفة الإنسانية. إذا كانت P تساوي NP، فهذا يعني أنه يمكن اكتشاف كل عبارة رياضية ذات برهان قصير بكفاءة، مما قد يحدث ثورة في عملية الاكتشاف الرياضي. من ناحية أخرى، إذا كانت P ≠ NP، فهذا يشير إلى أن هناك حدودًا متأصلة لما يمكن حسابه والتحقق منه بكفاءة، مما يسلط الضوء على مدى تعقيد وثراء الهياكل الرياضية.
على الرغم من عدم وجود إجابة محددة لسؤال P vs NP، فقد أدت الأبحاث المحيطة به إلى فهم أعمق للتعقيد الحسابي وتطوير العديد من التقنيات والأدوات التي كان لها تأثير عميق على علوم الكمبيوتر. يستمر السعي لحل هذا السؤال في إلهام الباحثين وتحديهم، مما يدفع التقدم في هذا المجال ويوسع فهمنا للحدود الأساسية للحساب.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص تعقيد:
- هل فئة PSPACE لا تساوي فئة EXPSPACE؟
- هل فئة التعقيد P هي مجموعة فرعية من فئة PSPACE؟
- هل يمكننا إثبات أن فئة Np وP متماثلتان من خلال إيجاد حل متعدد الحدود فعال لأي مشكلة كاملة NP على TM حتمية؟
- هل يمكن أن تكون فئة NP مساوية لفئة EXPTIME؟
- هل هناك مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة؟
- هل يمكن أن تكون مشكلة SAT مشكلة NP كاملة؟
- هل يمكن أن تكون المشكلة في فئة التعقيد NP إذا كانت هناك آلة تورينج غير حتمية يمكنها حلها في زمن متعدد الحدود
- NP هي فئة اللغات التي تحتوي على أدوات التحقق من الوقت متعددة الحدود
- هل كل لغة خالية من السياق في فئة التعقيد P؟
- هل هناك تناقض بين تعريف NP كفئة من مشاكل القرار مع أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود وحقيقة أن المشاكل في الفئة P لها أيضًا أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود؟
عرض المزيد من الأسئلة والأجوبة في التعقيد