هل هناك تناقض بين تعريف NP كفئة من مشاكل القرار مع أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود وحقيقة أن المشاكل في الفئة P لها أيضًا أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود؟
تعد الفئة NP، التي تشير إلى زمن كثير الحدود غير الحتمي، أمرًا أساسيًا في نظرية التعقيد الحسابي وتشمل مشاكل القرار التي تحتوي على أدوات التحقق من زمن كثير الحدود. مشكلة القرار هي تلك التي تتطلب إجابة بنعم أو لا، والمتحقق في هذا السياق هو خوارزمية تتحقق من صحة حل معين.
من المهم التمييز بين حل المشكلة (الحساب) والتحقق من الحل (التحقق). في NP، ينصب التركيز على ما إذا كان هناك مدقق زمني متعدد الحدود يمكنه تأكيد صحة الحل.
تتضمن الفئة P، التي تمثل زمن كثير الحدود، مشاكل القرار التي يمكن حلها بواسطة آلة تورينج الحتمية خلال زمن كثير الحدود. وبالتالي، بالنسبة لكل مشكلة في P، لا توجد خوارزمية متعددة الحدود للعثور على حل فحسب، بل توجد أيضًا خوارزمية متعددة الحدود للتحقق من الحل.
يكمن التناقض الظاهري في ملاحظة أن كل مشكلة في P، التي لها بطبيعتها خوارزمية حل متعددة الحدود، تمتلك أيضًا أداة التحقق من الوقت متعدد الحدود. ومع ذلك، هذا لا يتعارض مع تعريف NP. السمة المميزة لـ NP هي وجود مدقق زمني متعدد الحدود، بغض النظر عن المدة التي قد يستغرقها العثور على الحل. هذا يعني أن جميع المسائل في P موجودة أيضًا في NP، حيث يمكن التحقق من حلولها في زمن متعدد الحدود.
على سبيل المثال، النظر في مشكلة اختبار الأعداد الأولية. يمكن تأطير هذه المشكلة بطريقتين: توليد الأعداد الأولية والتحقق مما إذا كان رقم معين أوليًا. منخل إراتوستينس هو خوارزمية لتوليد جميع الأعداد الأولية حتى حد معين ويقوم بذلك بكفاءة، لكن تعقيده الزمني ليس متعدد الحدود بالمعنى الدقيق للكلمة المستخدم في نظرية التعقيد الحسابي؛ غالبًا ما يُشار إليه بـ O(n log log n)، وهو أفضل من متعدد الحدود الخطي ولكن ليس بشكل صارم وفقًا لتعريف P. من ناحية أخرى، فإن مشكلة التحقق مما إذا كان رقم معين أوليًا (اختبار الأعداد الأولية) هي مهمة مختلفة. تسمح الخوارزميات الفعالة مثل اختبار أولوية AKS بالتحقق الأولي في وقت متعدد الحدود. لذلك، فإن مشكلة اختبار الأعداد الأولية، في سياق التحقق، تقع ضمن الفئة P، وكذلك NP، لأنه يمكن التحقق من الحل (سواء كان الرقم أوليًا) في زمن متعدد الحدود. يوضح هذا أنه على الرغم من أن توليد الأعداد الأولية واختبار الأعداد الأولية مرتبطان، إلا أنهما ينطويان على اعتبارات مختلفة من حيث التعقيد الحسابي.
في الختام، فإن تعريف NP على أنه يحتوي على أدوات التحقق من زمن متعدد الحدود يتوافق مع طبيعة P. والتمييز ليس في خطوة التحقق ولكن في عملية إيجاد الحلول: مشاكل P قابلة للحل ويمكن التحقق منها في وقت متعدد الحدود، في حين أن مشاكل NP يمكن التحقق منها في وقت كثير الحدود، ولكن ليس من المعروف دائمًا ما إذا كان يمكن حلها في وقت كثير الحدود.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص تعقيد:
- هل فئة PSPACE لا تساوي فئة EXPSPACE؟
- هل فئة التعقيد P هي مجموعة فرعية من فئة PSPACE؟
- هل يمكننا إثبات أن فئة Np وP متماثلتان من خلال إيجاد حل متعدد الحدود فعال لأي مشكلة كاملة NP على TM حتمية؟
- هل يمكن أن تكون فئة NP مساوية لفئة EXPTIME؟
- هل هناك مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة؟
- هل يمكن أن تكون مشكلة SAT مشكلة NP كاملة؟
- هل يمكن أن تكون المشكلة في فئة التعقيد NP إذا كانت هناك آلة تورينج غير حتمية يمكنها حلها في زمن متعدد الحدود
- NP هي فئة اللغات التي تحتوي على أدوات التحقق من الوقت متعددة الحدود
- هل P و NP في الواقع نفس فئة التعقيد؟
- هل كل لغة خالية من السياق في فئة التعقيد P؟
عرض المزيد من الأسئلة والأجوبة في التعقيد