كيف يتم حساب المعلمة b في الانحدار الخطي (التقاطع y للخط الأفضل ملاءمة)؟

by كولينز أغو / الأربعاء، 07 أغسطس 2024 / نشرت في الذكاء الاصطناعي, التعلم الآلي EITC/AI/MLP باستخدام Python, تراجع, فهم الانحدار

في سياق الانحدار الخطي، المعلمة $b$ (يشار إليه عادةً باسم تقاطع y للخط الأكثر ملائمة) وهو عنصر مهم في المعادلة الخطية $ص = م س + ب$ ، حيث $m$ يمثل ميل الخط سؤالك يتعلق بالعلاقة بين تقاطع y $b$ ، وسيلة المتغير التابع $y$ والمتغير المستقل $x$ ، والمنحدر $m$ .

لمعالجة الاستعلام، نحن بحاجة إلى النظر في اشتقاق معادلة الانحدار الخطي. يهدف الانحدار الخطي إلى نمذجة العلاقة بين متغير تابع $y$ وواحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة $x$ عن طريق تركيب معادلة خطية للبيانات المرصودة. في الانحدار الخطي البسيط، والذي يتضمن متغيرًا متوقعًا واحدًا، يتم تمثيل العلاقة بالمعادلة:

$ص = مكس + ب$

هنا، $m$ (المنحدر) و $b$ (التقاطع y) هي المعلمات التي يجب تحديدها. المنحدر $m$ يشير إلى التغيير في $y$ لتغيير وحدة واحدة في $x$ ، بينما تقاطع y $b$ يمثل قيمة $y$ متى $x$ صفر.

للعثور على هذه المعلمات، نستخدم عادةً طريقة المربعات الصغرى، والتي تقلل مجموع الفروق المربعة بين القيم المرصودة والقيم التي تنبأ بها النموذج. تؤدي هذه الطريقة إلى الصيغ التالية للمنحدر $m$ والتقاطع y $b$ :

$m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}$

$ب = \bar{y} - م\bar{x}$

هنا، $\شريط {س}$ $\شريط {ص}$ هي وسائل $x$ $y$ القيم على التوالي. على المدى $\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}$ يمثل التباين $x$ $y$ ، في حين $\sum{(x_i - \bar{x})^2}$ يمثل التباين $x$ .

صيغة التقاطع y $b$ يمكن أن يفهم على النحو التالي: مرة واحدة في المنحدر $m$ يتم تحديد التقاطع y $b$ يتم حسابه بأخذ المتوسط $y$ القيم وطرح منتج المنحدر $m$ ومتوسط ال $x$ قيم. وهذا يضمن أن خط الانحدار يمر عبر النقطة $(\bar {x}، \bar {y})$ ، وهو النقطه الوسطى لنقاط البيانات.

لتوضيح ذلك بمثال، فكر في مجموعة بيانات تحتوي على القيم التالية:

$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 6 \\ \hline \end{صفيف}$

أولا نحسب الوسائل $x$ $y$ :

$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$

$\bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = 4$

بعد ذلك، نحسب الميل $m$ :

$m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}$

$= \frac{(1-3)(2-4) + (2-3)(3-4) + (3-3)(5-4) + (4-3)(4-4) + (5-3)(6-4)}{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^ 2}$

$= \frac{(-2)(-2) + (-1)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{(-2) ^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}$

$= \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 4}{4 + 1 + 0 + 1 + 4}$

$= \frac{9}{10} = 0.9$

وأخيرًا، نحسب تقاطع y $b$ :

$ب = \bar{y} - م\bar{x}$

$= 4 - 0.9 \مرات 3$

$= 4 - 2.7$

$= 1.3$

ولذلك، فإن معادلة الانحدار الخطي لمجموعة البيانات هذه هي:

$ص = 0.9س + 1.3$

يوضح هذا المثال أن التقاطع y $b$ يساوي بالفعل متوسط الكل $y$ القيم ناقص منتج المنحدر $m$ ومتوسط الكل $x$ القيم التي تتوافق مع الصيغة $ب = \bar {y} - م \ بار {x}$ .

من المهم أن نلاحظ أن التقاطع y $b$ ليس مجرد وسيلة للجميع $y$ القيم بالإضافة إلى منتج المنحدر $m$ ومتوسط الكل $x$ قيم. بدلا من ذلك، فإنه ينطوي على طرح المنتج من المنحدر $m$ ومتوسط الكل $x$ القيم من متوسط الكل $y$ القيم.

يعد فهم اشتقاق ومعنى هذه المعلمات أمرًا ضروريًا لتفسير نتائج تحليل الانحدار الخطي. تقاطع y $b$ يوفر معلومات قيمة حول مستوى خط الأساس للمتغير التابع $y$ عندما يكون المتغير المستقل $x$ هو صفر. المنحدر $m$ ومن ناحية أخرى، يشير إلى اتجاه العلاقة وقوتها $x$ $y$ .

في التطبيقات العملية، يستخدم الانحدار الخطي على نطاق واسع للنمذجة التنبؤية وتحليل البيانات. وهو بمثابة تقنية تأسيسية في مختلف المجالات، بما في ذلك الاقتصاد والمالية والبيولوجيا والعلوم الاجتماعية. ومن خلال ملاءمة النموذج الخطي للبيانات المرصودة، يمكن للباحثين والمحللين إجراء تنبؤات وتحديد الاتجاهات وكشف العلاقات بين المتغيرات.

توفر لغة Python، وهي لغة برمجة شائعة لعلوم البيانات والتعلم الآلي، العديد من المكتبات والأدوات اللازمة لأداء الانحدار الخطي. تقدم مكتبة "scikit-learn"، على سبيل المثال، تنفيذًا مباشرًا للانحدار الخطي من خلال فئة "LinearRegression" الخاصة بها. فيما يلي مثال لكيفية تنفيذ الانحدار الخطي باستخدام `scikit-learn` في بايثون:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

في هذا المثال، يتم استخدام فئة "LinearRegression" لإنشاء نموذج انحدار خطي. يتم استدعاء الأسلوب `fit` لتدريب النموذج على بيانات العينة، ويتم استخدام سمات `coef_` و`intercept_` لاسترداد الميل وتقاطع y، على التوالي.

تقاطع y $b$ في الانحدار الخطي لا يساوي متوسط الكل $y$ القيم بالإضافة إلى منتج المنحدر $m$ ومتوسط الكل $x$ قيم. بدلا من ذلك، فهو يساوي متوسط الكل $y$ القيم ناقص منتج المنحدر $m$ ومتوسط الكل $x$ القيم، كما هو محدد في الصيغة $ب = \bar {y} - م \ بار {x}$ .

أكاديمية EITCA

كيف يتم حساب المعلمة b في الانحدار الخطي (التقاطع y للخط الأفضل ملاءمة)؟

أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص التعلم الآلي EITC/AI/MLP باستخدام Python:

المزيد من الأسئلة والأجوبة:

أكاديمية EITCA هي جزء من إطار عمل شهادة تكنولوجيا المعلومات الأوروبية

الأهلية للحصول على دعم دعم EITCI DSJC بنسبة 80٪

أكاديمية EITCA

تسجيل الدخول إلى حسابك

نسيت كلمة المرور؟

إنشاء حساب

كيف يتم حساب المعلمة b في الانحدار الخطي (التقاطع y للخط الأفضل ملاءمة)؟

أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص التعلم الآلي EITC/AI/MLP باستخدام Python:

المزيد من الأسئلة والأجوبة:

الأهلية للحصول على دعم دعم EITCI DSJC بنسبة 80٪