هل كل لغة خالية من السياق في فئة التعقيد P؟
إن مسألة ما إذا كانت كل لغة خالية من السياق (CFL) تقع ضمن فئة التعقيد P هي موضوع رائع ضمن نظرية التعقيد الحسابي. لمعالجة هذه المسألة بشكل شامل، من الضروري النظر في تعريفات اللغات الخالية من السياق، وفئة التعقيد P، والعلاقة بين هذه المفاهيم.
اللغة الخالية من السياق هي نوع من اللغة الرسمية التي يمكن إنشاؤها بواسطة قواعد خالية من السياق (CFG). CFG عبارة عن مجموعة من قواعد الإنتاج التي تصف جميع السلاسل الممكنة في لغة رسمية معينة. تستبدل كل قاعدة في CFG رمزًا واحدًا غير طرفي بسلسلة من الرموز الطرفية وغير الطرفية. تعتبر اللغات الخالية من السياق مهمة في علوم الكمبيوتر لأنها يمكن أن تصف بناء جملة معظم لغات البرمجة ويتم التعرف عليها بواسطة أتمتة الضغط لأسفل.
تتكون فئة التعقيد P من مسائل القرار التي يمكن حلها بواسطة آلة تورينج الحتمية في زمن متعدد الحدود. يمثل الوقت متعدد الحدود، الذي يُشار إليه بـ O(n^k) حيث n هو حجم الإدخال وk ثابت، الحد الأعلى للتعقيد الزمني للخوارزمية. تعتبر المشكلات في P قابلة للحل بكفاءة لأن الوقت اللازم لحلها ينمو بمعدل يمكن التحكم فيه مع زيادة حجم المدخلات.
لتحديد ما إذا كانت كل لغة خالية من السياق موجودة في P، يجب علينا فحص الموارد الحسابية المطلوبة لتحديد العضوية في لغة خالية من السياق. عادةً ما يتم تحديد مشكلة القرار للغة خالية من السياق على النحو التالي: بالنظر إلى سلسلة w وقواعد نحوية خالية من السياق G، حدد ما إذا كان من الممكن إنشاء w بواسطة G.
الخوارزمية القياسية لتحديد العضوية في لغة خالية من السياق هي خوارزمية CYK (Cocke-Younger-Kasami)، وهي خوارزمية برمجة ديناميكية. تعمل خوارزمية CYK في زمن O(n^3)، حيث n هو طول سلسلة الإدخال. ينشأ هذا التعقيد الزمني المكعب لأن الخوارزمية تقوم بإنشاء جدول تحليل له أبعاد تتناسب مع طول سلسلة الإدخال وعدد الرموز غير الطرفية في القواعد.
بالنظر إلى أن خوارزمية CYK تعمل في زمن متعدد الحدود، فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن حل مشكلة عضوية اللغات الخالية من السياق في زمن متعدد الحدود. وبالتالي، فإن اللغات الخالية من السياق تقع بالفعل ضمن فئة التعقيد P. وهذه النتيجة مهمة لأنها تثبت أن اللغات الخالية من السياق، والتي تعد أكثر تعبيرًا من اللغات العادية، لا يزال من الممكن تحديدها بكفاءة.
لتوضيح ذلك، فكر في اللغة الخالية من السياق L = {a^nb^n | n ≥ 0}، والذي يتكون من سلاسل ذات عدد متساوٍ من 'a's متبوعة بعدد متساو من 'b's. يمكن تعريف القواعد النحوية الخالية من السياق لهذه اللغة على النحو التالي:
ق → أسب | ε
هنا، S هو رمز البداية، ويمثل ε السلسلة الفارغة. يمكن استخدام خوارزمية CYK لتحديد ما إذا كانت سلسلة معينة w تنتمي إلى L. على سبيل المثال، بالنظر إلى السلسلة w = "aaabbb"، ستقوم خوارزمية CYK بإنشاء جدول تحليل للتحقق من إمكانية إنشاء w بواسطة القواعد.
بالإضافة إلى ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه يمكن تحديد بعض اللغات الخالية من السياق بشكل أكثر كفاءة من التعقيد الزمني العام O(n^3) لخوارزمية CYK. على سبيل المثال، اللغات الحتمية الخالية من السياق، والتي تعد مجموعة فرعية من اللغات الخالية من السياق والتي يتم التعرف عليها بواسطة ماكينات الضغط الحتمية، يمكن تحديدها في كثير من الأحيان في زمن O(n). ينشأ هذا التعقيد الزمني الخطي لأن آلات الضغط الحتمية لديها نموذج حسابي أكثر تقييدًا، مما يسمح بخوارزميات تحليل أكثر كفاءة مثل موزعي LR(k) أو LL(k) المستخدم في تصميم المترجم.
يمكن حل مشكلة العضوية في اللغات الخالية من السياق في وقت متعدد الحدود باستخدام خوارزميات مثل خوارزمية CYK، مما يضع اللغات الخالية من السياق ضمن فئة التعقيد P. وتسلط هذه النتيجة الضوء على الكفاءة التي يمكن من خلالها معالجة اللغات الخالية من السياق، مما يجعلها مناسبة للتطبيقات في تحليل تركيب لغة البرمجة والمجالات الأخرى التي تتطلب التعرف الرسمي على اللغة.
أسئلة وأجوبة أخرى حديثة بخصوص تعقيد:
- هل فئة PSPACE لا تساوي فئة EXPSPACE؟
- هل فئة التعقيد P هي مجموعة فرعية من فئة PSPACE؟
- هل يمكننا إثبات أن فئة Np وP متماثلتان من خلال إيجاد حل متعدد الحدود فعال لأي مشكلة كاملة NP على TM حتمية؟
- هل يمكن أن تكون فئة NP مساوية لفئة EXPTIME؟
- هل هناك مشاكل في PSPACE لا توجد لها خوارزمية NP معروفة؟
- هل يمكن أن تكون مشكلة SAT مشكلة NP كاملة؟
- هل يمكن أن تكون المشكلة في فئة التعقيد NP إذا كانت هناك آلة تورينج غير حتمية يمكنها حلها في زمن متعدد الحدود
- NP هي فئة اللغات التي تحتوي على أدوات التحقق من الوقت متعددة الحدود
- هل P و NP في الواقع نفس فئة التعقيد؟
- هل هناك تناقض بين تعريف NP كفئة من مشاكل القرار مع أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود وحقيقة أن المشاكل في الفئة P لها أيضًا أدوات التحقق من الوقت متعدد الحدود؟
عرض المزيد من الأسئلة والأجوبة في التعقيد